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Chapter 4 · Magnetometer Cross-Validation

磁强计的交叉验证

Ch 5 的 3 帧值能拟合 2 Hz 自旋余弦——这本身不算证据（3 点总能拟合 3 参数曲线）。 真正的证据：两次录音的 \(|\mathbf{B}|\) 比例预测 Ch 5 的振幅比例—— \(\mathbf{1.524}\) 预测 vs \(\mathbf{1.262}\) 实测，同向同量级、差约 17%， 粗一致性而非定量精密验证。

物理模型

在一颗自旋稳定卫星上，磁强计敏感轴如果固定在垂直于自旋轴的方向，则它测量的是 局部地磁场矢量 $\mathbf{B}$ 在垂直自旋轴平面上的投影 $B_\perp$ 的瞬时分量：

$$V(t) = k_{\text{VCO}} \cdot B_\perp \cos\!\left[\,2\pi \omega_s \,(t - t_0)\,\right]$$

其中 $\omega_s = 2.0\text{ Hz}$ 为 120 rpm 的自旋角速度，$k_{\text{VCO}}$ 是压控振荡器的 Hz/nT 灵敏度，$t_0$ 是初始相位（与传感器在星体坐标系中的安装方向有关）。

对遥测系统而言，Ch 5 在每次换向到这路时隙时，采样当时的瞬时 $V(t)$ 通过 VCO 变成 PFM 频率值。 我们观测到的每帧一个数，就是这个连续余弦在离散帧时刻的离散采样。

Spinning satellite crossing Earth magnetic field lines with a cosine telemetry trace
插图：自旋稳定卫星上的横向磁强计会把地磁投影采样成 2 Hz 余弦型频率变化。

实测 3 帧数据

从 VCO 漂移校正后的数值：

帧UTC自旋相位 $\varphi$$f_5$ (Hz)
F11970-04-27T09:39:440.000 圈964.71
F21970-04-27T09:40:430.600 圈1273.72
F31970-04-27T09:41:420.700 圈1106.67

帧间时间差约 59 秒，对应 \(\sim 118\) 次完整自旋。表中"自旋相位"列不是 从这个 118 + 时钟偏移直接算出来的——它来自下面那一节的最小二乘余弦拟合， 在 \([A, B, \varphi_0]\) 三个自由参数中把 \(\varphi_0\) 解出来后， 反推每帧的相对相位。所以这一列是结果，不是输入； 它和 1% 量级的星上时钟偏移一致，但不是由该偏移单独决定的。

余弦拟合（不够充分）

最小二乘拟合：

$$f_5(\varphi) = 1185.9 + 270.2 \cdot \cos\!\left[\,2\pi\,(\varphi - 0.403)\,\right], \quad \text{RMS 残差} = 0.11\text{ Hz}$$
Ch 5 的自旋相位余弦 · 动态演示 t = 0.00 s
卫星自旋 2 Hz；每次红点转到顶点，磁强计输出极值
⚠ 3 点拟合的陷阱

3 个数据点 + 3 个自由参数（$A,\ B,\ \varphi_0$）必然"完美"拟合。 残差 0.11 Hz 只是数值噪声，纯数学拟合不构成证据。 需要独立物理约束。

关键物理约束：磁场强度随轨道位置变化

两次录音时卫星在完全不同的轨道位置——CHINA1 在 951 km / 59.5°N， ChinSat 在 ~1900 km / 50°N。用 1970.3 历元的倾斜偶极模型计算局部磁场大小 $|\mathbf{B}|$：

$$|\mathbf{B}(r,\theta)| = B_{\text{eq}} \left(\frac{R_E}{r}\right)^3 \sqrt{\,1 + 3\cos^2\theta\,}$$ 其中 $r$ 是到地心的距离，$\theta$ 是磁余纬，$B_{\text{eq}}\approx 30000$ nT 是赤道表面场强。
录音时间亚星点高度$|\mathbf{B}|$ (nT)Ch 5 振幅
CHINA104-25 ~12:00 59.5°N / 17.9°E951 km 35,100 ~390 Hz
ChinSat F104-27 09:39:44 52.2°N / 7.6°E1838 km 23,941—
ChinSat F204-27 09:40:43 50.0°N / 9.9°E1882 km 23,032—
ChinSat F304-27 09:41:42 47.7°N / 12.0°E1925 km 22,120—
ChinSat 平均 23,031 309 Hz

磁强计假说的独立检验

如果 Ch 5 确实是磁强计，其振幅应当正比于当地 $|B_\perp|$。 假设自旋轴对 $\mathbf{B}$ 方向的倾角在两次录音间变化不大，则：

$$\frac{A_{\text{CHINA1}}}{A_{\text{ChinSat}}} \stackrel{?}{=} \frac{|\mathbf{B}|_{\text{CHINA1}}}{|\mathbf{B}|_{\text{ChinSat}}}$$

代入数值：

\begin{align*} \text{预测} &: \quad \frac{35{,}100}{23{,}031} = \mathbf{1.524} \\[4pt] \text{实测} &: \quad \frac{390}{309} = \mathbf{1.262} \end{align*}

两者同向、数量级一致：观测振幅比 1.262 与磁场比 1.524 都告诉你 CHINA1 那次的 \(|\mathbf{B}|\) 比 ChinSat 那次更大。但它们不严格相等：

\[ \frac{1.524 - 1.262}{1.524} \approx 17\% \]

17% 不是"5%"那种紧贴的吻合，但用来反驳一个"完全无关的物理量"绰绰有余—— 温度、辐射、电池等候选身份在两次录音之间预期的振幅比应当接近 1（没有任何理由跟 \(|\mathbf{B}|\) 成正相关），而 Ch 5 的振幅跟着 \(|\mathbf{B}|\) 走。 偏差可由几个未被建模的因素吸收：CHINA1 振幅是从部分帧估计（\(\pm 20\%\)）； 两次录音之间自旋轴对 \(\mathbf{B}\) 的倾角不同（投影系数 \(\sin\alpha\) 变化）； 偶极模型在 \(L \sim 1.5\!-\!2.5\) 的真实场比偶极强 \(\sim 5\!-\!10\%\)。 本博客不把这条比例当作严格定量验证； 它的作用是排除"完全无关的物理量"这一替代假设，仅此而已。

振幅 vs |B| —— 2 个数据点的直接对比

VCO 灵敏度反算

假设 Ch 5 直接测量 $B_\perp$，且自旋轴大致与 $\mathbf{B}$ 向量方向垂直（则 $B_\perp \approx |\mathbf{B}|$）：

$$k_{\text{VCO}} = \frac{A}{|\mathbf{B}|} \approx \frac{270\text{ Hz}}{23{,}000\text{ nT}} \approx 1.17 \times 10^{-2}\ \text{Hz/nT} \approx 85\ \text{nT/Hz}$$

1960 年代磁通门或搜索线圈式磁强计的典型灵敏度：$10^{-2}$–$10^{-1}$ Hz/nT。 85 nT/Hz 落在合理范围。

自旋轴方向提示

比较实测振幅 $A$ 与理论预测 $|\mathbf{B}| \cdot k_{\text{VCO}}$（假设 $k=0.012$ Hz/nT）：

$$\sin\theta_{\mathrm{axis\text{-}B}} = \frac{A_{\text{obs}}}{|\mathbf{B}| \cdot k_{\mathrm{VCO}}}$$
帧$|\mathbf{B}|\cdot k$$A_{\text{obs}}$$\sin\theta$$\theta$
F1287 Hz270 Hz0.94~70°
F2276 Hz270 Hz0.98~79°
F3265 Hz270 Hz1.02~90°

自旋轴与 $\mathbf{B}$ 几乎垂直（$\theta \sim 70$–$90°$）。对一个 68.5° 倾角轨道 上不主动控制的自旋稳定卫星，这是合理的瞬时状态。

过境几何参考

Satellite pass elevation over Germany
1970-04-27 09:39–09:42 UTC 过境仰角/方位角时间序列。F2（过顶，89.7°）正是拟合 相位刚好 0.6 圈的那一帧。

小结

下一个独立验证来自 1971 年的实践一号：它的载荷清单里没有磁强计， 遥测里也找不到类似的大振幅 2 Hz 余弦信号。Chapter 8 详述。